Tema 8 Contrastos d’independència i homogeneïtat

En els contrastos d’independència de dues variables $X$ i $Y$, la hipòtesi nul·la és

no hi ha cap relació entre $X$ i $Y$,

és a dir, que són independents. Quan traduïm la independència de dues variables en termes de

“la probabilitat de la intersecció és el producte de probabilitats”,

resulta que un contrast d’independència és un tipus concret de contrast de bondat d’ajust.

En els contrastos d’homogeneïtat de dues variables $X$ i $Y$, la hipòtesi nul·la és

la distribució de $Y$ condicionada a cada un dels valors que pot prendre $X$ és sempre la mateixa,

que és una altra manera de dir que $X$ i $Y$ són independents. Per tant, els contrastos d’homogeneïtat són formalment contrastos d’independència, però difereixen en la forma com s’hi recull la mostra:

En un contrast d’independència, la mostra és transversal: es pren una mostra de la població on estan definides $X$ i $Y$ i es mesuren les dues variables sobre els individus de la mostra.
En un contrast d’homogeneïtat, la mostra és estratificada: es classifiquen els individus de la població segons el seu valor de $X$, es pren una mostra independent de cada una d’aquestes classes definides pels valors de $X$, amb totes aquestes mostres de mides fixades d’antuvi, i es mesura $Y$ sobre tots aquests individus.

8.1 Test $\chi^2$ d’independència

Suposem que tenim dues variables aleatòries $X$ i $Y$ que només poden prendre valors $X_{1},\ldots,X_{s}$ i $Y_{1},\ldots,Y_{t}$, respectivament. Les considerarem qualitatives i direm a aquests $X_i$ i $Y_j$ els seus nivells, però poden ser ordinals o quantitatives discretes. L’important és que només poden prendre un conjunt finit de valors cadascuna.

Volem contrastar si $X$ i $Y$ són independents, és a dir \[ \begin{array}{l} \hspace{-2ex}P(X=X_i\mid Y=Y_j)=P(X=X_i\mid Y=Y_{j'})=P(X=X_i)\text{ per a tots $i,j,j'$}\\ \hspace{-2ex}P(Y=Y_j\mid X=X_i)=P(Y=Y_j\mid X=X_{i'})=P(Y=Y_j)\text{ per a tots $i,i',j$} \end{array} \] o equivalentment \[ P(X=X_i,Y=Y_j)=P(X=X_i)\cdot P(Y=Y_j)\text{ per a tots $i,j$} \]

El contrast serà \[ \left\{\begin{array}{l} H_0: \mbox{$X$ i $Y$ són independents}\\ H_1: \mbox{$X$ i $Y$ no són independents} \end{array} \right. \]

En aquest context, sovint en lloc de dir que “$X$ i $Y$ no són independents” o “$X$ i $Y$ són dependents”, es diu que “hi ha associació entre $X$ i $Y$”.

Recordau que, en general, la hipòtesi nul·la representa que “no passa res”. En els contrastos d’independència això correspon a “no hi ha cap relació entre $X$ i $Y$”, és a dir, que són independents.

Fixem-nos ara que la caracterització de la independència com a \[ P(X=X_i,Y=Y_j)=P(X=X_i)\cdot P(Y=Y_j)\text{ per a tots $i,j$} \] ens permet entendre el contrast d’independència com un contrast de bondat d’ajust, amb hipòtesi nul·la \[ H_0: P(X=X_i,Y=Y_j)=P(X=X_i)\cdot P(Y=Y_j)\text{ per a tots $i,j$} \] i hipòtesi alternativa \[ H_1: P(X=X_i,Y=Y_j)\neq P(X=X_i)\cdot P(Y=Y_j)\text{ per a alguns $i,j$} \]

De la mateixa manera que el contrari d’aprovar totes les assignatures no és suspendre totes les assignatures, sinó suspendre’n almenys una, el contrari de

per a tots els valors de $i$ i $j$, $P(X=X_i,Y=Y_j)=P(X=X_i)\cdot P(Y=Y_j)$

no és

per a tots els valors de $i$ i $j$, $P(X=X_i,Y=Y_j)\neq P(X=X_i)\cdot P(Y=Y_j)$

sinó

per almenys un $i$ i un $j$, $P(X=X_i,Y=Y_j)\neq P(X=X_i)\cdot P(Y=Y_j)$

Hi farem servir un test $\chi^2$.

El contrast d’igualtat de dues proporcions és un cas particular de contrast d’independència: que l’esdeveniment “Èxit” sigui independent de la variable.

Exemple 8.1 En un estudi es volgué determinar si hi ha associació entre l’hàbit de fumar i patir tos nocturna entre els nins. S’entrevistà una mostra de 2847 nins i nines de 12 anys i es recollí informació sobre el seu estatus de fumador i si patien de tos nocturna o no. S’obtingueren els resultats següents:

\[ \begin{array}{l} \hphantom{No fumador ocasional un }\text{Fumador}\\ \begin{array}{l|ccc|c} & \text{No fumador} & \text{Ocasional} & \text{Regular} & \text{Total} \\\hline \text{Tos} & 266 & 395 & 80 & 741\\ \text{No tos}& 1037 & 977 & 92 & 2106\\\hline \text{Total} &1303 & 1372 & 172 & 2847 \end{array} \end{array} \]

En aquesta situació:

Variables aleatòries d’interès:

$X$: “Prenem un nin i anotam si té tos nocturna o no”
$Y$: “Prenem un nin i anotam el seu estatus de fumador”

Contrast: \[ \left\{\begin{array}{l} H_0: \mbox{$X$ i $Y$ són independents}\\ H_1: \mbox{Hi ha associació entre $X$ i $Y$} \end{array} \right. \]

Anem a traduir ara un contrast d’independència com l’anterior en un contrast d’igualtat de distribucions de probabilitat. Diguem \[ \begin{array}{c} p_{ij}=P(X=X_i, Y=Y_j)\\ p_i=P(X=X_i)\quad q_{j}=P(Y=Y_j) \end{array} \] El test d’independència equival a contrastar \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_0: p_{ij}=p_i \cdot q_j \text{ per a tots } 1\leqslant i \leqslant s,\ 1\leqslant j\leqslant t \\ H_1: \mbox{No totes aquestes igualtats són vertaderes} \end{array} \right. \]

El decidirem amb un test $\chi^2$. Els passos concrets seran els següents:

Mesuram les variables aleatòries sobre una mostra aleatòria simple de $n$ subjectes, i obtenim una taula de contingència de freqüències absolutes com la següent (on cada $n_{i,j}$ indica el nombre de subjectes amb $X=X_i$ i $Y=Y_j$; $n_{i\bullet}$ indica el nombre de subjectes amb $X=X_i$, és a dir, el nombre total de subjectes de la filera $i$; i $n_{\bullet j}$ indica el nombre de subjectes amb $Y=Y_j$, és a dir, el nombre total de subjectes de la columna $j$):

\[ \begin{array}{c|cccccc|c} X\backslash Y & Y_1 & Y_2 & \ldots & Y_j & \ldots & Y_t & \text{Total} \\ \hline X_1 & n_{11} & n_{12} & \ldots & n_{1j} & \ldots & n_{1t} & n_{1 \bullet} \\ X_2 & n_{21} & n_{22} & \ldots & n_{2j} & \ldots & n_{2t} & n_{2 \bullet} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ X_i & n_{i1} & n_{i2} & \ldots & n_{ij} & \ldots & n_{it} & n_{i \bullet} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ X_s & n_{s1} & n_{s2} & \ldots & n_{sj} & \ldots & n_{st} & n_{s \bullet} \\ \hline \text{Total} & n_{\bullet 1} & n_{\bullet 2} & \ldots & n_{\bullet j} & \ldots & n_{\bullet t} & n \end{array} \]

Estimam cada $p_i$ amb ${n_{i\bullet}}/{n}$ i cada $q_j$ amb ${n_{\bullet j}}/{n}$
Si les variables aleatòries fossin independents, les probabilitats teòriques serien \[ p_{ij}=\frac{n_{i\bullet}}{n}\cdot \frac{n_{\bullet j}}{n} \] i per tant la freqüència esperada de cada parell $(X_i,Y_j)$ si les variables aleatòries són independents és \[ esp_{ij}=p_{ij}\cdot n=\dfrac{n_{i\bullet}}{n}\cdot \dfrac{n_{\bullet j}}{n}\cdot n=\dfrac{n_{i\bullet}\cdot n_{\bullet j}}{n} \]
L’estadístic del test $\chi^2$ és doncs \[ \chi^2=\sum\limits_{i=1}^s\sum\limits_{j=1}^t \frac{ ( n_{ij}- esp_{ij})^2 } {esp_{ij}} \]

Arribats en aquest punt, el Teorema 7.1 ens diu que:

Teorema 8.1 Suposem que $n$ és gran (diguem $n\geqslant 30$) i que se satisfà la Regla de Cochran: per a cada $i,j$, \[ esp_{ij}=\frac{n_{i\bullet}\cdot n_{\bullet j}}{n}\geqslant 5 \] Aleshores, si les variables $X$ i $Y$ són independents, l’estadístic \[ \chi^2=\sum\limits_{i=1}^s\sum\limits_{j=1}^t \frac{ ( n_{ij}- esp_{ij})^2 } {esp_{ij}} \] segueix (aproximadament) una llei $\chi^2$ amb $(s-1)(t -1)$ graus de llibertat.

D’on surt aquest nombre de graus de llibertat? Vegem, hem estimat les $p_i$ i les $q_j$, i per tant hem estimat $s+t-2$ paràmetres (fixau-vos que en realitat només hem estimat $p_1,\ldots,p_{s-1}$ i $q_1,\ldots,q_{t-1}$, ja que $p_s$ i $q_t$ queden fixats per la regla “suma de probabilitats igual a 1”). Per tant el nombre de graus de llibertat és el nombre de classes, $st$ (una per cada combinació $(X_i,Y_j)$ d’un possible valor de $X$ i un possible valor de $Y$) menys 1 i menys el nombre de paràmetres estimats: \[ \mbox{graus de llibertat}=st-1-(s+t-2)=(s-1)(t-1) \]

El Teorema 8.1 és un cas particular del Teorema 7.1, i per tant les hipòtesis per poder emprar el test $\chi^2$ en aquest context són les mateixes que en el cas general: mostra de mida com a mínim 30 i totes les freqüències esperades més grans o iguals que 5.

Si $\chi_0^2$ és el valor que pren l’estadístic de contrast a la nostra mostra, el p-valor del contrast és \[ \text{p-valor}=P(\chi_{(s-1)(t -1)}^2\geqslant \chi_0^2) \]

Exemple 8.2 Continuem amb l’Exemple 8.1. Ja teníem les variables i el contrast. Les freqüències observades són

La mida de la mostra és gran. Calculem les freqüències esperades, per veure si són totes més grans o iguals que 5.

\[ \begin{array}{l|ccc} & \text{No fumador} & \text{Ocasional} & \text{Regular} \\\hline \text{Tos} & 741\cdot 1303/2847 & 741\cdot 1372/2847 & 741\cdot 172/2847 \\ \text{No tos}& 2106\cdot 1303/2847 & 2106\cdot 1372/2847 & 2106\cdot 172/2847 \end{array} \] Operant: \[ \begin{array}{l|ccc} & \text{No fumador} & \text{Ocasional} & \text{Regular} \\\hline \text{Tos} & 339.14 & 357.1 & 44.77 \\ \text{No tos}& 963.86 & 1014.9 & 127.23 \end{array} \]

Són totes prou grans. Per tant l’estadístic de contrast \[ \chi^2=\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^t \frac{(n_{ij}-esp_{ij})^2}{esp_{ij}} \]

(on $s=2$ i $t=3$) seguirà una distribució $\chi^2_{(s-1)(t-1)}=\chi^2_2$.

Valor de l’estadístic de contrast:

\[ \chi_0^2=\frac{(266-339.14)^2}{339.14}+\frac{(395-357.1)^2}{357.1}+\cdots=64.25 \]

Calculem-lo amb R:

Entram la taula:

Taula=matrix(c(266,395,80,1037,977,92),nrow=2,byrow=TRUE)
Taula

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  266  395   80
## [2,] 1037  977   92

n=sum(Taula)
n

## [1] 2847

Les $n_{i\bullet}$ són les sumes de les fileres:

n.i.bolla=rowSums(Taula)
n.i.bolla

## [1]  741 2106

Les $n_{\bullet j}$ són les sumes de les columnes:

n.bolla.j=colSums(Taula)
n.bolla.j

## [1] 1303 1372  172

La matriu de les $(n_{i\bullet}n_{\bullet j}/n)_{i,j}$ s’obté fent el producte matricial \[ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{n}\left(\begin{array}{c} n_{1\bullet}\\ n_{2\bullet}\\ \vdots\\ n_{s\bullet} \end{array}\right)\cdot \big(n_{\bullet 1},n_{\bullet 2},\ldots,n_{\bullet t}\big)\\ \qquad \displaystyle = \left( \begin{array}{cccc} \frac{n_{1\bullet}n_{\bullet 1}}{n} & \frac{n_{1\bullet}n_{\bullet 2}}{n} & \ldots & \frac{n_{1\bullet}n_{\bullet t}}{n}\\ \frac{n_{2\bullet}n_{\bullet 1}}{n} & \frac{n_{2\bullet}n_{\bullet 2}}{n} & \ldots & \frac{n_{2\bullet}n_{\bullet t}}{n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{n_{s\bullet}n_{\bullet 1}}{n} & \frac{n_{s\bullet}n_{\bullet 2}}{n} & \ldots & \frac{n_{s\bullet}n_{\bullet t}}{n} \end{array} \right) \end{array} \]

Freqs.Esp=(1/n)*n.i.bolla%*%t(n.bolla.j)
Freqs.Esp

##         [,1]      [,2]      [,3]
## [1,] 339.137  357.0959  44.76712
## [2,] 963.863 1014.9041 127.23288

L’estadístic de contrast:

X2=sum((Taula-Freqs.Esp)^2/Freqs.Esp)
X2

## [1] 64.24672

p-valor: $P(\chi^2_2\geqslant 64.25)=\texttt{1-pchisq(64.25,2)}=1.1\cdot 10^{-14}$

Conclusió: Hem trobat evidència estadísticament significativa que hi ha associació entre l’estatus de fumador d’un nin i que pateixi tos nocturna (test $\chi^2$, p-valor 10^-14).

Podem efectuar un test $\chi^2$ d’independència aplicant la funció chisq.test a la taula de freqüències absolutes:

chisq.test(Taula)

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  Taula
## X-squared = 64.247, df = 2, p-value = 1.119e-14

Exemple 8.3 Volem contrastar si hi ha associació entre el grau de compliment del calendari de vacunacions (CCV) dels fills i el nivell sociocultural dels pares.

La taula següent mostra la classificació d’una mostra de 444 nins i nines segons el seu CCV i el nivell sociocultural dels pares: \[ \begin{array}{l} \hphantom{Compli CCV BaixBB}\text{Nivell sociocultural}\\ \begin{array}{r|ccc|l} \text{Compliment CCV} &\text{Baix}& \text{Mitjà} &\text{Alt} &\text{Total}\\ \hline \text{Baix} &38 &76 &79 & 193\\ \text{Mitjà-baix}& 2& 41& 92 & 135\\ \text{Mitjà-alt}& 2& 21& 50 & 73\\ \text{Alt}& 0 &12& 31 & 43\\ \hline \text{Total} & 42 & 150 & 252 & 444 \end{array} \end{array} \]

Variable aleatòries d’interès:

$X$: “Prenem un nin i anotam el seu grau de compliment del CCV”
$Y$: “Prenem un nin i anotam el nivell sociocultural dels pares”

Contrast: \[ \left\{\begin{array}{l} H_0: \mbox{$X$ i $Y$ són independents}\\ H_1: \mbox{Hi ha associació entre $X$ i $Y$} \end{array} \right. \]

Fem un test $\chi^2$ amb R:

TaulaCCV=matrix(c(38,76,79,2,41,92,2,21,50,0,12,31), 
                nrow=4, byrow=TRUE)
chisq.test(TaulaCCV)

## Warning in chisq.test(TaulaCCV): Chi-squared approximation may be incorrect

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  TaulaCCV
## X-squared = 56.378, df = 6, p-value = 2.441e-10

R ens avisa que no es compleixen les condicions per usar el test $\chi^2$; segurament hi ha freqüències esperades petites. Vegem-ho, i aprofitarem per comprovar-ho amb R:

Les $n_{i\bullet}$ són les sumes de les fileres:

Freq.CCV=rowSums(TaulaCCV)
Freq.CCV

## [1] 193 135  73  43

Les $n_{\bullet j}$ són les sumes de les columnes:

Freq.NSC=colSums(TaulaCCV)
Freq.NSC

## [1]  42 150 252

La matriu de les $n_{i\bullet}n_{\bullet j}/n$:

Freqs.Esp=(1/sum(TaulaCCV))*Freq.CCV%*%t(Freq.NSC)
Freqs.Esp

##           [,1]     [,2]      [,3]
## [1,] 18.256757 65.20270 109.54054
## [2,] 12.770270 45.60811  76.62162
## [3,]  6.905405 24.66216  41.43243
## [4,]  4.067568 14.52703  24.40541

Efectivament, l’entrada (4,1) és menor que 5.

Farem servir el mètode de Montecarlo:

set.seed(42)
chisq.test(TaulaCCV,simulate.p.value=TRUE,B=5000)

## 
##  Pearson's Chi-squared test with simulated p-value (based on 5000
##  replicates)
## 
## data:  TaulaCCV
## X-squared = 56.378, df = NA, p-value = 2e-04

Conclusió: Hem trobat evidència estadísticament significativa que hi ha associació entre el grau de compliment del calendari de vacunacions d’un nin i el nivell sociocultural dels seus pares (test $\chi^2$ de Montecarlo, p-valor 0.0002).

8.2 Test $\chi^2$ d’homogeneïtat

En un contrast d’homogeneïtat de proporcions, tenim una variable aleatòria $X$ que pot prendre els valors $X_1,\ldots,X_k$ i una variable aleatòria de Bernoulli $Y$ que pot prendre els valors “Èxit” i “Fracàs”. Per a cada $i=1,\ldots,k$, diguem $p_i=P(Y=\text{Èxit}|X=X_i)$. És a dir, $p_i$ és la probabilitat que $Y$ doni Èxit sobre un individu per al qual $X$ val $X_i$.

Volem contrastar si aquestes probabilitats $p_1,\ldots,p_k$ són totes iguals o no. El contrast és, doncs, \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_0: \text{ $p_1=\cdots=p_k$}\\ H_1: \text{ No totes les $p_i$ són iguals} \end{array} \right. \]

Per efectuar el contrast, per a cada $i=1,\ldots,k$ prenem una mostra aleatòria simple d’individus per als quals $X$ val $X_i$, independents cada una de les altres.

Com que dir que \[ P(Y=\text{Èxit}|X=X_1)=\cdots=P(Y=\text{Èxit}|X=X_k) \] és exactament el mateix que dir que $X$ i $Y$ són independents, el contrast d’homogeneïtat que hem plantejat és equivalent a \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_0: \text{ $X$ i $Y$ són independents}\\ H_1: \text{ $X$ i $Y$ no són independents} \end{array} \right. \]

Però el disseny de l’experiment és diferent:

En un contrast d’independència prenem una mostra transversal de la població, sense controlar el nombre de subjectes que hi surten de cada nivell $X_i$.
En un contrast d’homogeneïtat prenem una mostra estratificada, és a dir, una mostra independent de cada nivell $X_i$ de $X$, triant a priori el nombre de subjectes de cada un d’aquests nivells; per exemple, imposant que totes aquestes mostres tenguin la mateixa mida, o que la mida de cada mostra sigui proporcional al nombre d’individus de la població sobre els que $X$ val $X_i$.

Exemple 8.4 Volem comparar 3 tractaments per baixar el nivell de colesterol, A, B i C, per veure si tenen taxes d’èxit diferents. En una primera aproximació, entendrem com a “Èxit” que el nivell de colesterol baixi dels 240 mg/dl a les 5 setmanes de tractament. En un assaig clínic, assignam cada tractament a 100 pacients amb colesterol alt escollits de manera independent uns dels altres, i anotam si el tractament ha tengut èxit.

Els resultats són

\[ \begin{array}{l} \hphantom{FracasAAa}\text{Tractament}\\ \begin{array}{l|ccc|c} & A & B & C & \text{Total} \\\hline \text{Èxit} & 43 & 61 & 53 & 157\\ \text{Fracàs} & 57 & 39 & 47 & 143\\\hline \text{Total} & 100 & 100 & 100 & 300 \end{array} \end{array} \]

Volem contrastar si la probabilitat d’èxit de cada tractament és la mateixa o no. Fixem-nos que és un contrast d’homogeneïtat, perquè hem pres una mostra de mida prefixada de cada tractament.

Seria un contrast d’independència si haguéssim pres 300 malalts d’hipercolesterolèmia que estiguessin prenent algun d’aquests tractaments i haguéssim anotat de cada un quin tractament pren i si ha tengut èxit. Amb una mostra transversal obtinguda d’aquesta darrera manera, hi havia el risc que algun tractament fos seguit per molt pocs, o fins i tot cap, malalt.

Variables aleatòries: En realitat, aquí tendríem dues interpretacions correctes. Per una banda, la usual, en termes de dues variables mesurades sobre els mateixos individus:

$X$: “Prenem un pacient i anotam quin tractament segueix”
$Y$: “Prenem un pacient i anotam si al cap de 5 setmanes el seu nivell de colesterol està per davall dels 240 mg/dl”

Però d’altra banda, tal i com hem pres la mostra, seria perfectament vàlid entendre que les variables aleatòries en joc són:

$Y_A$: “Prenem un pacient tractat amb A i anotam si al cap de 5 setmanes el seu nivell de colesterol està per davall dels 240 mg/dl”
$Y_B$: “Prenem un pacient tractat amb B i anotam si al cap de 5 setmanes el seu nivell de colesterol està per davall dels 240 mg/dl”
$Y_C$: “Prenem un pacient tractat amb C i anotam si al cap de 5 setmanes el seu nivell de colesterol està per davall dels 240 mg/dl”

En aquest cas, les variables estan definides sobre poblacions diferents.

Dos comentaris:

Als contrastos d’independència com el de l’Exemple 8.1, la segona interpretació és incorrecta, ja que allà sí que preníem una mostra transversal de nins i sobre cada un d’ells miràvem dues coses. En canvi, aquí podem entendre que prenem malalts de tres poblacions diferents i mesuram sobre ells una cosa, la qual cosa defineix tres variables diferents.
Si volguéssim comparar taxes d’èxit de coses diferents sobre poblacions diferents per mitjà d’un contrast d’homogeneïtat, la interpretació en termes de dues variables $X,Y$ mesurades sobre una mateixa població quedaria una mica artificial.

Imaginau per exemple que us deman que contrasteu si són iguals o diferents les proporcions de
- Estudiants de Matemàtiques I que enguany aprovaren l’assignatura
- Malalts d’hipercolesterolèmia sobre els quals el tractament A és efectiu
- Nins fumadors ocasionals amb tos nocturna
A veure com vos ho faríeu per plantejar-ho en termes de dues variables, una $X$ que digui què miram i una $Y$ que doni “Èxit” o “Fracàs”, i que no us quedàs un nyap de redacció.

Contrast: Si diem $p_A$, $p_B$ i $p_C$ a les probabilitats que un pacient tractat amb A, B o C, respectivament, davalli dels 240 mg/dl de colesterol al cap de 5 setmanes de tractament,

\[ \left\{\begin{array}{l} H_0: p_A=p_B=p_C\\ H_1: \mbox{No és veritat que $p_A=p_B=p_C$} \end{array}\right. \]

Emprarem un test $\chi^2$:

TaulaC=matrix(c(43,61,53,57,39,47), nrow=2 ,byrow=TRUE)
TaulaC

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   43   61   53
## [2,]   57   39   47

chisq.test(TaulaC)

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  TaulaC
## X-squared = 6.5209, df = 2, p-value = 0.03837

Conclusió: Hem trobat evidència significativa que els tres tractaments no tenen la mateixa taxa d’èxit (test $\chi^2$ d’homogeneïtat, p-valor 0.04).

Ara seria necessari efectuar 3 contrastos de parelles de proporcions per trobar quines parelles de tractaments tenen taxes d’èxit diferents. Us ho deixam com a exercici.

De la mateixa manera que les dues variables involucrades en un contrast d’independència podien tenir més de dos nivells, podem efectuar contrastos d’homogeneïtat en situacions més generals que la comparació de proporcions.

Suposem doncs que tenim una variable aleatòria qualitativa $X$ de nivells $X_1,\ldots,X_k$, i una variable aleatòria qualitativa $Y$ de nivells $Y_1,\ldots,Y_l$, i volem contrastar si la probabilitat que $Y$ prengui els seus diferents valors sobre un individu depèn o no del valor de $X$ sobre aquest individu. És a dir, volem contrastar si $P(Y=Y_h|X=X_i)=P(Y=Y_h|X=X_j)$ per a tots $i,j,h$.

Exemple 8.5 Tornem a la situació de l’Exemple 8.4. Volem comparar 3 tractaments, A, B i C, per baixar el nivell de colesterol, per veure si tenen taxes d’èxit diferents. Però ara, en lloc de considerar l’èxit com una variable binària (baixes dels 240 mg/dl o no) distingirem si al cap de 5 setmanes de tractament s’ha baixat dels 200 mg/dl (el nivell desitjable de colesterol), s’ha assolit un nivell entre 200 i 240 mg/dl (el nivell límit), o si no s’ha baixat de 240 (nivell alt).

Les dades de l’estudi esmentat a l’Exemple 8.4 amb aquesta nova classificació dels resultats són:

\[ \begin{array}{l} \hphantom{200-240AAaa}\text{Tractament}\\ \begin{array}{r|ccc|c} \text{Nivell} & A & B & C & \text{Total} \\\hline \text{Desitjable} & 12 & 21 & 13 & 46\\ \text{Límit} & 31 & 40 & 40 & 111\\ \text{Alt} & 57 & 39 & 47 & 143 \\\hline \text{Total} & 100 & 100 & 100 & 300\\\hline \end{array} \end{array} \]

Variables aleatòries: Com abans, tenim dues interpretacions correctes:

$X$: “Prenem un pacient i anotam quin tractament segueix”
$Y$: “Prenem un pacient i anotam al cap de 5 setmanes en quina classe està el seu nivell de colesterol”

$Y_A$: “Prenem un pacient tractat amb A i anotam al cap de 5 setmanes en quina classe està el seu nivell de colesterol”
$Y_B$: “Prenem un pacient tractat amb B i anotam al cap de 5 setmanes en quina classe està el seu nivell de colesterol”
$Y_C$: “Prenem un pacient tractat amb C i anotam al cap de 5 setmanes en quina classe està el seu nivell de colesterol”

: \[ \left\{\begin{array}{l} H_0: P(Y=L|X=T)=P(Y=L|X=T')\\ \hphantom{H_0: }\quad\text{ per a cada nivell $L$ de colesterol}\\ \hphantom{H_0: }\quad \text{ i cada parell de tractaments $T,T'$}\\ H_1: \mbox{Almenys una d'aquestes igualtats és falsa} \end{array}\right. \]

És un test d’homogeneïtat, farem servir un test $\chi^2$:

TaulaC2=matrix(c(12,21,13,31,40,40,57,39,47), nrow=3, byrow=TRUE)
TaulaC2

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   12   21   13
## [2,]   31   40   40
## [3,]   57   39   47

chisq.test(TaulaC2)

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  TaulaC2
## X-squared = 8.046, df = 4, p-value = 0.08991

Conclusió: No hem trobat evidència estadísticament significativa que sigui fals que A, B i C tenen el mateix efecte quan distingim tres classes de nivell de colesterol (test $\chi^2$ d’homogeneïtat, p-valor 0.09). La conclusió concreta ja dependria de si prenguéssim nivell de significació 0.05 o 0.1.

8.3 Test $\chi^2$ de tendència (Opcional)

Un contrast de tendència és una generalització del contrast d’homogeneïtat de proporcions. En el contrast de tendència, tenim una variable aleatòria ordinal $X$ de nivells ordenats $X_1<\cdots< X_k$, i una variable aleatòria Bernoulli $Y$ de nivells “Èxit” i “Fracàs”. Diguem $p_i=P(Y=\text{Èxit}|X=X_i)$, per a tot $i$. El contrast que volem realitzar és \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_0: \text{ $p_1=\cdots=p_k$}\\ H_1: \text{ $p_1\leqslant\cdots \leqslant p_k$ i almenys una }\\ \hphantom{H_1: } \text{ d'aquestes desigualtats és estricta} \end{array} \right. \]

S’efectua amb un test $\chi^2$ de Cochran-Armitage, una variant del test $\chi^2$ explicat a les seccions anteriors. Per utilitzar-lo, basta que la mostra total sigui gran ($\geqslant 30$), no cal la condició de Cochran. Si teniu curiositat sobre com es fa, podeu consultar la seva entrada de la Wikipedia.

Amb R s’efectua amb la funció prop.trend.test, aplicada al vector de freqüències d’èxits i el vector de freqüències de cada nivell de $X$.

Exemple 8.6 Continuem amb l’Exemple 8.1. Recordem que hi volíem determinar si hi ha associació entre l’hàbit de fumar i patir tos nocturna entre els nins. Les dades recollides varen ser:

Com que l’estatus de fumador és una variable ordinal i, naturalment, creiem que quant més se fuma, més probabilitat hi ha de patir tos nocturna, ens pot interessar contrastar si la probabilitat de tos nocturna creix amb la freqüència de fumar.

Variables d’interès:

$X$: “Prenem un nin i anotam el seu estatus de fumador”; la considerarem una variable ordinal amb nivells “No fumador” < “Ocasional” < “Regular”
$Y$: “Prenem un nin i anotam si té tos nocturna o no”

Contrast: Si diem $p_N$, $p_O$ i $p_R$ a la probabilitat que tengui tos nocturna un nin no fumador, un nin fumador ocasional i un nin fumador regular, respectivament, \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_0: \text{ $p_N=p_O=p_R$}\\ H_1: \text{ $p_N\leqslant p_O \leqslant p_R$ i $p_N<p_R$} \end{array} \right. \]

Fixau-vos que, a la hipòtesi alternativa, dir

“$p_N\leqslant p_O \leqslant p_R$ i almenys una d’aquestes desigualtats és estricta”

és equivalent a dir

“$p_N\leqslant p_O \leqslant p_R$ i $p_N<p_R$”

només que aquesta darrera reformulació és més curta.

Emprarem un test $\chi^2$ de tendència:

Tos=c(266,395,80)
Fum=c(1303,1372,172)
prop.trend.test(Tos,Fum)

## 
##  Chi-squared Test for Trend in Proportions
## 
## data:  Tos out of Fum ,
##  using scores: 1 2 3
## X-squared = 59.47, df = 1, p-value = 1.242e-14

Conclusió: Hem trobat evidència estadísticament significativa que la probabilitat de patir tos nocturna creix amb la freqüència de fumar (test $\chi^2$ de Cochran-Armitage, p-valor 10^-14)

8.4 Test de la lliçó 8

(1) En un contrast d’independència, quina és la hipòtesi alternativa?

Que les dues variables són independents
Que hi ha associació entre les dues variables
Que les dues variables tenen distribucions diferents
Que les dues variables podrien ser dependents
Que les dues variables depenen d’una tercera

(2) Perquè el test khi quadrat per contrastar la independència de dues variables sigui vàlid, és necessari que (marcau totes les continuacions correctes):

Totes les freqüències esperades siguin més grans o iguals que 5
Totes les freqüències observades siguin més grans o iguals que 5
Les dues variables siguin independents
La mida total de la mostra sigui com a mínim 30
La mida total de la mostra sigui com a mínim 100.
Les dues variables siguin normals o les dues mostres siguin de mida $\geqslant 40$.
Totes les altres respostes són incorrectes

(3) Si fem un test khi quadrat per contrastar la independència d’una variable amb 5 possibles valors i una variable amb 3 possibles valors, a partir de la taula de contingència $3\times 5$, quants graus de llibertat tendrà l’estadístic de contrast que hi hem d’emprar?

15
14
13
12
Cap dels nombres anteriors

(4) Quina o quines de les afirmacions següents sobre un test khi quadrat d’independència són vertaderes?

S’hi comparen les freqüències observades dels valors de cada variable amb les seves freqüències esperades si les variables fossin independents
S’hi comparen les freqüències observades de cada parella de valors de les variables, un de cada variable, amb les seves freqüències esperades si les variables fossin independents
S’hi comparen les freqüències observades dels valors de cada variable amb les seves freqüències esperades si les variables fossin dependents
S’hi comparen les freqüències observades de cada parella de valors, un de cada variable, de cada variable amb les seves freqüències esperades si les variables fossin dependents
És un cas particular de test khi quadrat de bondat d’ajust
És un cas particular de test khi quadrat de comparació de dues proporcions

(5) Volem contrastar la independència de dues variables de Bernoulli a partir de la taula següent: \[ \begin{array}{l} \hphantom{\textbf{Variable 2}}\qquad \textbf{Variable 1}\\ \begin{array}{l|cc|c} \textbf{Variable 2} & \text{Èxit} & \text{Fracàs} & \text{Total}\\\hline \text{Èxit} & 100 & 300 & 400\\ \text{Fracàs} & 400 & 4200 & 4600\\ \hline \text{Total} & 500 & 4500 & 5000 \end{array} \end{array} \]

Quina de les afirmacions següents és correcta?

Si les dues variables fossin independents, esperaríem que les quatre entrades de la taula central fossin iguals
Si hi hagués associació entre les dues variables, esperaríem que les quatre entrades de la taula central fossin iguals
Si les dues variables fossin independents, esperaríem que no hi hagués casos discordants
Si hi hagués associació entre les dues variables, esperaríem que no hi hagués casos discordants
Si les dues variables fossin independents, esperaríem que l’entrada corresponent a (Èxit,Èxit) fos 40
Si hi hagués associació entre les dues variables, esperaríem que l’entrada corresponent a (Èxit,Èxits) fos 40
Totes les altres respostes són incorrectes

(6) A partir de la taula de la pregunta anterior (marcau totes les continuacions correctes)

Que existeixi o no associació entre la variable 1 i la variable 2 es pot contrastar amb un test khi quadrat
Que existeixi o no associació entre la variable 1 i la variable 2 es pot contrastar amb un test de McNemar
Que existeixi o no associació entre la variable 1 i la variable 2 es pot contrastar amb un test de Fisher
Que la probabilitat d’èxit de les dues variables sigui la mateixa o no es pot contrastar amb un test khi quadrat
Que la probabilitat d’èxit de les dues variables sigui la mateixa o no es pot contrastar amb un test de McNemar
Que la probabilitat d’èxit de les dues variables sigui la mateixa o no es pot contrastar amb un test de Fisher
Totes les altres continuacions són incorrectes

(7) Quina de les afirmacions següents és vertadera?

La diferència entre un contrast d’independència i un d’homogeneïtat està en la hipòtesi nul.la: que les variables siguin independents al contrast d’independència i que siguin homogènies al contrast d’homogeneïtat
La diferència entre un contrast d’independència i un d’homogeneïtat està en la hipòtesi alternativa: que hi hagi associació entre les variables al contrast d’independència i que hi hagi heterogeneïtat entre les variables al contrast d’homogeneïtat
La diferència entre un contrast d’independència i un d’homogeneïtat està en com prenem les mostres: transversal al contrast d’independència i estratificada al contrast d’homogeneïtat
La diferència entre un contrast d’independència i un d’homogeneïtat està en com prenem les mostres: transversal al contrast d’homogeneïtat i estratificada al contrast d’independència
La diferència entre un contrast d’independència i un d’homogeneïtat està en el nombre de graus de llibertat de l’estadístic: si les variables tenen $s$ nivells i $t$ nivells, respectivament, al d’independència hi empram $(s-1)(t-1)$ graus de llibertat i al d’homogeneïtat n’hi empram $st-1$
Cap de les altres respostes és correcta

(8) Per contrastar si el percentatge de sanitaris infectats amb COVID-19 en un moment concret és el mateix a les diferents illes balears, prenem una mostra formada per 100 sanitaris de Mallorca, 50 sanitaris de Menorca i 50 sanitaris de les Pitiüses, i els fem un test per veure si estan infectats o no. Marcau l’afirmació correcta:

Aquest contrast és d’independència, perquè la mostra és transversal
Aquest contrast no és d’homogeneïtat, perquè les mostres de les tres illes no tenen la mateixa mida
Aquest contrast no és d’homogeneïtat, perquè les mostres de les tres illes no s’adapten a les proporcions que representen les diferents illes en el total de les Balears
Aquest contrast no és d’independència, perquè les mostres de les tres illes no tenen la mateixa mida
Aquest contrast és d’homogeneïtat perquè hem pres una mostra específica de cada illa
Aquest contrast és d’homogeneïtat perquè la mostra és transversal
Aquest contrast no és ni d’independència ni d’homogeneïtat
Cap de les altres respostes és correcta

(9) Per contrastar si el percentatge de sanitaris infectats amb COVID-19 en un moment concret és el mateix a les diferents illes balears, prenem una mostra formada per 50 sanitaris de Mallorca, 50 sanitaris de Menorca i 50 sanitaris de les Pitiüses, i els fem un test per veure si estan infectats o no. Marcau l’afirmació correcta:

Aquest contrast és d’independència, perquè la mostra és transversal
Aquest contrast és d’independència, perquè les mostres de les tres illes tenen la mateixa mida
Aquest contrast no és d’homogeneïtat, perquè les mostres de les tres illes no s’adapten a les proporcions que representen les diferents illes en el total de les Balears
Aquest contrast és d’homogeneïtat perquè hem pres una mostra específica de cada illa
Aquest contrast és d’homogeneïtat perquè la mostra és transversal
Aquest contrast és d’homogeneïtat, perquè les mostres de les tres illes tenen la mateixa mida
Aquest contrast no és ni d’independència ni d’homogeneïtat
Cap de les altres respostes és correcta

(10) Per contrastar si el percentatge de sanitaris infectats amb COVID-19 en un moment concret és el mateix a les diferents illes balears, prenem una mostra formada per 150 sanitaris extreta del llistat de tots el personal sanitari dels hospitals de les Balears, a continuació miram a quina illa treballen i els fem un test per veure si estan infectats o no. Per casualitat, ens hi surten 50 de Mallorca, 50 de Menorca i 50 d’Eivissa/Formentera. Marcau l’afirmació correcta:

Aquest contrast és d’independència, perquè la mostra és transversal
Aquest contrast és d’independència, perquè les mostres de les tres illes tenen la mateixa mida
Aquest contrast no és d’homogeneïtat, perquè les mostres de les tres illes no s’adapten a les proporcions que representen les diferents illes en el total de les Balears
Aquest contrast és d’homogeneïtat perquè la mostra és transversal
Aquest contrast és d’homogeneïtat, perquè les mostres de les tres illes tenen la mateixa mida
Aquest contrast no és ni d’independència ni d’homogeneïtat
Cap de les altres respostes és correcta

Matemàtiques II v.2021

Tema 8 Contrastos d’independència i homogeneïtat

8.1 Test \(\chi^2\) d’independència

8.2 Test \(\chi^2\) d’homogeneïtat

8.3 Test \(\chi^2\) de tendència (Opcional)

8.4 Test de la lliçó 8