Tema 7 Contrastos d’independència i homogeneïtat
En els contrastos d’independència de dues variables \(X\) i \(Y\), la hipòtesi nul·la és
no hi ha cap relació entre \(X\) i \(Y\),
és a dir, que són independents. Quan traduïm la independència de dues variables en termes de
“la probabilitat de la intersecció és el producte de probabilitats”,
resulta que un contrast d’independència és un tipus concret de contrast de bondat d’ajust.
En els contrastos d’homogeneïtat de dues variables \(X\) i \(Y\), la hipòtesi nul·la és
la distribució de \(Y\) condicionada a cada un dels valors que pot prendre \(X\) és sempre la mateixa,
que és una altra manera de dir que \(X\) i \(Y\) són independents. Per tant, els contrastos d’homogeneïtat són formalment contrastos d’independència, però difereixen en la forma com s’hi recull la mostra:
En un contrast d’independència, la mostra és transversal: es pren una mostra de la població on estan definides \(X\) i \(Y\) i es miren els valors de les dues variables sobre els individus de la mostra, i surt el que surt
En un contrast d’homogeneïtat, la mostra és estratificada: es pren una mostra independent per a cada un dels valors que pot prendre \(X\), de mides fixades d’antuvi, i es mira el valor de \(Y\) sobre tots aquests individus
7.1 Test \(\chi^2\) d’independència
Suposem que tenim dues variables aleatòries \(X\) i \(Y\) que només poden prendre valors \(X_{1},\ldots,X_{s}\) i \(Y_{1},\ldots,Y_{t}\), respectivament. Les considerarem qualitatives i direm a aquests \(X_i\) i \(Y_j\) els seus nivells, però poden ser ordinals o quantitatives discretes. L’inportant és que només poden prendre un conjunt finit de valors cadascuna.
Volem contrastar si \(X\) i \(Y\) són independents, és a dir \[ \begin{array}{l} \hspace{-2ex}P(X=X_i\mid Y=Y_j)=P(X=X_i\mid Y=Y_{j'})=P(X=X_i)\text{ per a tots $i,j,j'$}\\ \hspace{-2ex}P(Y=Y_j\mid X=X_i)=P(Y=Y_j\mid X=X_{i'})=P(Y=Y_j)\text{ per a tots $i,i',j$} \end{array} \] o equivalentment \[ P(X=X_i,Y=Y_j)=P(X=X_i)\cdot P(Y=Y_j)\text{ per a tots $i,j$} \]
El contrast serà \[ \left\{\begin{array}{l} H_0: \mbox{$X$ i $Y$ són independents}\\ H_1: \mbox{$X$ i $Y$ són dependents} \end{array} \right. \]
Sovint en lloc de dir que “\(X\) i \(Y\) són dependents”, direm que “hi ha associació entre \(X\) i \(Y\)”.
Fixem-nos ara que la caracterització de la independència com a \[ P(X=X_i,Y=Y_j)=P(X=X_i)\cdot P(Y=Y_j)\text{ per a tots $i,j$} \] ens permet entendre el contrast d’independència com un contrast de bondat d’ajust, amb hipòtesi nul·la \[ H_0: P(X=X_i,Y=Y_j)=P(X=X_i)\cdot P(Y=Y_j)\text{ per a tots $i,j$} \] Hi farem servir un test \(\chi^2\).
Exemple 7.1 En un estudi es volgué determinar si hi ha associació entre l’hàbit de fumar i patir tos nocturna entre els nins.
S’entrevistà una mostra de 2847 nens de 12 anys i es recollí informació sobre el seu estatus de fumador i si patien de tos nocturna o no. S’obtingueren els resultats següents: \[ \begin{array}{l} \hphantom{No fumador ocasional un }\text{Fumador}\\ \begin{array}{l|ccc|c} & \text{No fumador} & \text{Ocasional} & \text{Regular} & \text{Total} \\\hline \text{Tos} & 266 & 395 & 80 & 741\\ \text{No tos}& 1037 & 977 & 92 & 2106\\\hline \text{Total} &1303 & 1372 & 172 & 2847 \end{array} \end{array} \]
En aquesta situació:
Variables aleatòries d’interès:
- \(X\): “Prenem un nin i miram si té tos nocturna o no”
- \(Y\): “Prenem un nin i avaluam el seu estatus de fumador”
Contrast: \[ \left\{\begin{array}{l} H_0: \mbox{$X$ i $Y$ són independents}\\ H_1: \mbox{Hi ha associació entre $X$ i $Y$} \end{array} \right. \]
Anem a traduir ara un contrast d’independència com l’anterior en un contrast d’igualtat de distribucions de probabilitat. Diguem \[ \begin{array}{c} p_{ij}=P(X=X_i, Y=Y_j)\\ p_i=P(X=X_i)\quad q_{j}=P(Y=Y_j) \end{array} \] El test d’independència equival a contrastar \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_0: p_{ij}=p_i \cdot q_j \text{ per a tots } 1\leqslant i \leqslant s,\ 1\leqslant j\leqslant t \\ H_1: \mbox{No totes aquestes igualtats són vertaderes} \end{array} \right. \]
És a dir, la hipòtesi nul·la és
La distribució de probabilitats que ha donat la mostra de parells de valors \((X,Y)\) és el producte de la distribució de probabilitats de \(X\) per la distribució de probabilitats de \(Y\)
i per tant podem entendre aquest contrast com un contrast de bondat d’ajust (sobre la distribució conjunta de \((X,Y)\)) i hi podem fer servir un test \(\chi^2\). Els passos concrets seran els següents:
- Mesuram les variables aleatòries sobre una mostra aleatòria simple de \(n\) subjectes, i obtenim una taula de contingència de freqüències absolutes com la següent (on cada \(n_{i,j}\) indica el nombre de subjectes amb \(X=X_i\) i \(Y=Y_j\); \(n_{i\bullet}\) indica el nombre de subjectes amb \(X=X_i\), és a dir, el nombre total de subjectes de la filera \(i\); i \(n_{\bullet j}\) indica el nombre de subjectes amb \(Y=Y_j\), és a dir, el nombre total de subjectes de la columna \(j\)):
\[ \begin{array}{c|cccccc|c} X\backslash Y & Y_1 & Y_2 & \ldots & Y_j & \ldots & Y_t & \text{Total} \\ \hline X_1 & n_{11} & n_{12} & \ldots & n_{1j} & \ldots & n_{1t} & n_{1 \bullet} \\ X_2 & n_{21} & n_{22} & \ldots & n_{2j} & \ldots & n_{2t} & n_{2 \bullet} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ X_i & n_{i1} & n_{i2} & \ldots & n_{ij} & \ldots & n_{it} & n_{i \bullet} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ X_s & n_{s1} & n_{s2} & \ldots & n_{sj} & \ldots & n_{st} & n_{s \bullet} \\ \hline \text{Total} & n_{\bullet 1} & n_{\bullet 2} & \ldots & n_{\bullet j} & \ldots & n_{\bullet t} & n \end{array} \]
Estimam cada \(p_i\) amb \({n_{i\bullet}}/{n}\) i cada \(q_j\) amb \({n_{\bullet j}}/{n}\)
Si les variables aleatòries fossin independents, les probabilitats teòriques serien \[ p_{ij}=\frac{n_{i\bullet}}{n}\cdot \frac{n_{\bullet j}}{n} \] i per tant la freqüència esperada de cada parell \((X_i,Y_j)\) si les variables aleatòries són independents seria \[ esp_{ij}=p_{ij}\cdot n=\dfrac{n_{i\bullet}}{n}\cdot \dfrac{n_{\bullet j}}{n}\cdot n=\dfrac{n_{i\bullet}\cdot n_{\bullet j}}{n} \]
L’estadístic del test \(\chi^2\) és doncs \[ \chi^2=\sum\limits_{i=1}^s\sum\limits_{j=1}^t \frac{ ( n_{ij}- esp_{ij})^2 } {esp_{ij}} \]
Arribats en aquest punt, el Teorema 6.1 ens diu que:
Teorema 7.1 Si les variables \(X\) i \(Y\) són independents, \(n\) és gran (diguem \(n\geqslant 30\)) i se satisfà la Regla de Cochran, és a dir, cada freqüència esperada \[ esp_{ij}=\frac{n_{i\bullet}\cdot n_{\bullet j}}{n} \] és \(\geqslant 5\), l’estadístic \[ \chi^2=\sum\limits_{i=1}^s\sum\limits_{j=1}^t \frac{ ( n_{ij}- esp_{ij})^2 } {esp_{ij}} \] segueix (aproximadament) una llei \(\chi^2\) amb \((s-1) \cdot (t -1)\) graus de llibertat.
- Si \(\chi_0^2\) és el valor que pren l’estadístic de contrast a la nostra mostra, el p-valor del contrast és \[ \text{p-valor}=P(\chi_{(s-1) \cdot (t -1)}^2\geqslant\chi_0^2) \]
Exemple 7.2 Continuem amb l’Exemple 7.1. Ja teníem les variables i el contrast. Les freqüències observades són
\[ \begin{array}{l} \hphantom{No fumador ocasional un }\text{Fumador}\\ \begin{array}{l|ccc|c} & \text{No fumador} & \text{Ocasional} & \text{Regular} & \text{Total} \\\hline \text{Tos} & 266 & 395 & 80 & 741\\ \text{No tos}& 1037 & 977 & 92 & 2106\\\hline \text{Total} &1303 & 1372 & 172 & 2847 \end{array} \end{array} \]
La mida de la mostra és gran. Calculem les freqüències esperades, per veure si són totes més grans o iguals que 5.
\[ \begin{array}{l|ccc} & \text{No fumador} & \text{Ocasional} & \text{Regular} \\\hline \text{Tos} & 741\cdot 1303/2847 & 741\cdot 1372/2847 & 741\cdot 172/2847 \\ \text{No tos}& 2106\cdot 1303/2847 & 2106\cdot 1372/2847 & 2106\cdot 172/2847 \end{array} \] Operant: \[ \begin{array}{l|ccc} & \text{No fumador} & \text{Ocasional} & \text{Regular} \\\hline \text{Tos} & 339.14 & 357.1 & 44.77 \\ \text{No tos}& 963.86 & 1014.9 & 127.23 \end{array} \]
Són totes prou grans. Per tant l’estadístic de contrast \[ \chi^2=\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^t \frac{(n_{ij}-esp_{ij})^2}{esp_{ij}} \]
(on \(s=2\) i \(t=3\)) seguirá una distribució \(\chi^2_{(s-1)(t-1)}=\chi^2_2\).
Valor de l’estadístic de contrast:
\[ \chi_0^2=\frac{(266-339.14)^2}{339.14}+\frac{(395-357.1)^2}{357.1}+\cdots=64.24 \]
p-valor: \(P(\chi^2_2\geqslant 64.24)=\texttt{1-pchisq(64.24,2)}=1.1\cdot 10^{-14}\)
Conclusió: Hem trobat evidència estadísticament significativa que hi ha associació entre l’estatus de fumador d’un nin i que pateixi tos nocturna (test \(\chi^2\), p-valor 10-14).
Podem efectuar un test \(\chi^2\) d’independència aplicant la funció chisq.test a la taula de freqüències absolutes:
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 266 395 80
## [2,] 1037 977 92##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: Taula
## X-squared = 64.247, df = 2, p-value = 1.119e-14Exemple 7.3 Volem contrastar si hi ha associació entre el grau de compliment del calendari de vacunacions (CCV) dels nins i el nivell sociocultural dels pares.
La taula següent mostra la classificació d’una mostra de 444 nens segons el seu CCV i el nivell sociocultural dels pares: \[ \begin{array}{l} \hphantom{Compli CCV BaixBB}\text{Nivell sociocultural}\\ \begin{array}{r|ccc|l} \text{Compliment CCV} &\text{Baix}& \text{Mitjà} &\text{Alt} &\text{Total}\\ \hline \text{Baix} &38 &76 &79 & 193\\ \text{Mitjà-baix}& 2& 41& 92 & 135\\ \text{Mitjà-alt}& 2& 21& 50 & 73\\ \text{Alt}& 0 &12& 31 & 43\\ \hline \text{Total} & 42 & 150 & 252 & 444 \end{array} \end{array} \]
Variable aleatòries d’interès:
- \(X\): “Prenem un nin i avaluam el seu grau de compliment del CCV”
- \(Y\): “Prenem un nin i avaluam el nivell sociocultural dels pares”
Contrast: \[ \left\{\begin{array}{l} H_0: \mbox{$X$ i $Y$ són independents}\\ H_1: \mbox{Hi ha associació entre $X$ i $Y$} \end{array} \right. \]
Fem un test \(\chi^2\) amb R:
## Warning in chisq.test(TaulaCCV): Chi-squared approximation may be incorrect##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: TaulaCCV
## X-squared = 56.378, df = 6, p-value = 2.441e-10R ens avisa que no es compleixen les condicions per usar el test \(\chi^2\); segurament hi ha freqüències esperades petites. Vegem-ho, i aprofitarem per comprovar-ho amb R:
- Les \(n_{i\bullet}\) són les sumes de les fileres:
## [1] 193 135 73 43- Les \(n_{\bullet j}\) són les sumes de les columnes:
## [1] 42 150 252- La matriu de les \((n_{i\bullet}n_{\bullet j}/n)\) s’obté fent el producte matricial \[ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{n}\left(\begin{array}{c} n_{1\bullet}\\ n_{2\bullet}\\ \vdots\\ n_{s\bullet} \end{array}\right)\cdot \big(n_{\bullet 1},n_{\bullet 2},\ldots,n_{\bullet t}\big)\\ \qquad \displaystyle = \left( \begin{array}{cccc} \frac{n_{1\bullet}n_{\bullet 1}}{n} & \frac{n_{1\bullet}n_{\bullet 2}}{n} & \ldots & \frac{n_{1\bullet}n_{\bullet t}}{n}\\ \frac{n_{2\bullet}n_{\bullet 1}}{n} & \frac{n_{2\bullet}n_{\bullet 2}}{n} & \ldots & \frac{n_{2\bullet}n_{\bullet t}}{n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{n_{s\bullet}n_{\bullet 1}}{n} & \frac{n_{s\bullet}n_{\bullet 2}}{n} & \ldots & \frac{n_{s\bullet}n_{\bullet t}}{n} \end{array} \right) \end{array} \]
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 18.256757 65.20270 109.54054
## [2,] 12.770270 45.60811 76.62162
## [3,] 6.905405 24.66216 41.43243
## [4,] 4.067568 14.52703 24.40541Efectivament, l’entrada (4,1) és menor que 5.
Farem servir el mètode de Montecarlo:
##
## Pearson's Chi-squared test with simulated p-value (based on 5000
## replicates)
##
## data: TaulaCCV
## X-squared = 56.378, df = NA, p-value = 2e-04Conclusió: Hem trobat evidència estadísticament significativa que hi ha associació entre el grau de compliment del calendari de vacunacions d’un nin i el nivell sociocultural dels seus pares (test \(\chi^2\) de Montecarlo, p-valor 0.0002).
7.2 Test \(\chi^2\) d’homogeneïtat
En un contrast d’homogeneïtat de proporcions, tenim una variable aleatòria \(X\) que pot prendre els valors \(X_1,\ldots,X_k\) i una variable aleatòria Bernoulli \(Y\) que pot prendre els valors “Èxit” i “Fracàs”. Per a cada \(i=1,\ldots,k\), diguem \(p_i=P(Y=\text{Èxit}|X=X_i)\). És a dir, \(p_i\) és la probabilitat que \(Y\) doni Èxit sobre un individu per al qual \(X\) val \(X_i\).
Volem contrastar si aquestes probabilitats \(p_1,\ldots,p_k\) són totes iguals o no. El contrast és, doncs, \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_0: \text{ $p_1=\cdots=p_k$}\\ H_1: \text{ Hi ha $i,j$ tals que $p_i \neq p_j$} \end{array} \right. \]
Per efectuar el contrast, per a cada \(i=1,\ldots,k\) prenem una mostra aleatòria simple d’individus per als quals \(X\) val \(X_i\), independents cada una de les altres.
Com que dir que \[ P(Y=\text{Èxit}|X=X_1)=\cdots=P(Y=\text{Èxit}|X=X_k) \] és exactament el mateix que dir que \(X\) i \(Y\) són independents, el contrast d’homogeneïtat que hem plantejat és equivalent a \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_0: \text{ $X$ i $Y$ són independents}\\ H_1: \text{ $X$ i $Y$ no són independents} \end{array} \right. \]
Però el disseny de l’experiment és diferent:
En un contrast d’independència prenem una mostra transversal de la població, sense controlar el nombre de subjectes que hi surten de cada nivell \(X_i\).
- En un contrast d’homogeneïtat prenem una mostra estratificada, és a dir, una mostra de cada nivell \(X_i\) de \(X\), triant a priori el nombre de subjectes de cada un d’aquests nivells; per exemple, imposant que totes aquestes mostres tenguin la mateixa mida, o que la mida de cada mostra sigui proporcional al nombre d’individus de la població sobre els que \(X\) val \(X_i\).
Exemple 7.4 Volem comparar 3 tractaments per baixar el nivell de colesterol, A, B i C, per veure si tenen taxes d’èxit diferents. En una primera aproximació, entendrem com a “Èxit” que el nivell de colesterol baixi dels 240 mg/dl a les 5 setmanes de tractament. En un assaig clínic, assignam cada tractament a 100 pacients amb colesterol alt escollits de manera independent uns dels altres, i anotam si el tractament ha tengut èxit.
Els resultats són
\[ \begin{array}{l} \hphantom{FracasAAa}\text{Tractament}\\ \begin{array}{l|ccc|c} & A & B & C & \text{Total} \\\hline \text{Èxit} & 43 & 61 & 53 & 157\\ \text{Fracàs} & 57 & 39 & 47 & 143\\\hline \text{Total} & 100 & 100 & 100 & 300 \end{array} \end{array} \]
Volem contrastar si la probabilitat d’èxit de cada tractament és la mateixa o no. Fixem-nos que és un contrast d’homogeneïtat, perquè hem pres una mostra de mida prefixada de cada tractament.
Variables aleatòries: En realitat, aquí tendríem dues interpretacions correctes. Per una banda, la usual, en termes de dues variables mesurades sobre els mateixos individus:
\(X\): “Prenem un pacient i miram quin tractament segueix”
\(Y\): “Prenem un pacient i miram si al cap de 5 setmanes el seu nivell de colesterol està per davall dels 240 mg/dl”
Però d’altra banda, tal i com hem pres la mostra, seria perfectament vàlid contestar que les variables aleatòries en joc són:
\(Y_A\): “Prenem un pacient sota el tractament A i miram si al cap de 5 setmanes el seu nivell de colesterol està per davall dels 240 mg/dl”
\(Y_B\): “Prenem un pacient sota el tractament B i miram si al cap de 5 setmanes el seu nivell de colesterol està per davall dels 240 mg/dl”
\(Y_C\): “Prenem un pacient sota el tractament C i miram si al cap de 5 setmanes el seu nivell de colesterol està per davall dels 240 mg/dl”
En aquest cas, les variables estan definides sobre poblacions diferents.
Dos comentaris:
Als contrastos d’independència com el de l’Exemple 7.1, la segona interpretació és incorrecta, ja que allà sí que preníem una mostra transversal de nins i sobre cada un d’ells miràvem dues coses. En canvi, aquí podem entendre que prenem malalts de tres poblacions diferents i mesuram sobre ells una cosa, la qual cosa defineix tres variables diferents.
Si volguéssim comparar taxes d’èxit de coses diferents sobre poblacions diferents per mitjà d’un contrast d’homogeneïtat, la interpretació en termes de dues variables \(X,Y\) mesurades sobre una mateixa població quedaria una mica artificial.
Imaginau per exemple que us deman que contrasteu si són iguals o diferents les proporcions de
- Estudiants de Matemàtiques I que enguany aprovaren l’assignatura
- Malalts d’hipercolesterolèmia sobre els quals el tractament A és efectiu
- Nins fumadors ocasionals amb tos nocturna
Contrast: Si diem \(p_A\), \(p_B\) i \(p_C\) a les probabilitats que un pacient amb el tractament A, B o C, respectivament, davalli dels 240 mg/dl de colesterol al cap de 5 setmanes de tractament,
\[ \left\{\begin{array}{l} H_0: p_A=p_B=p_C\\ H_1: \mbox{No és veritat que $p_A=p_B=p_C$} \end{array}\right. \]
- Emprarem un test \(\chi^2\):
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 43 61 53
## [2,] 57 39 47##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: TaulaC
## X-squared = 6.5209, df = 2, p-value = 0.03837Conclusió: Hem trobat evidència significativa que els tres tractaments no tenen la mateixa taxa d’èxit (test \(\chi^2\) d’homogeneïtat, p-valor 0.04).
Ara seria necessari efectuar 3 contrastos de parelles de proporcions per trobar quines parelles de tractaments tenes taxes d’èxit diferents. Us ho deixam com a exercici.
De la mateixa manera que les dues variables involucrades en un contrast d’independència podien tenir més de dos nivells, podem efectuar contrastos d’homogeneïtat en situacions més generals que la comparació de proporcions.
Suposem doncs que tenim una variable aleatòria qualitativa \(X\) de nivells \(X_1,\ldots,X_k\), i una variable aleatòria qualitativa \(Y\) de nivells \(Y_1,\ldots,Y_l\), i volem contrastar si la probabilitat que \(Y\) prengui els seus diferents valors sobre un individu depèn o no del valor de \(X\) sobre aquest individu. És a dir, volem contrastar si \(P(Y=Y_h|X=X_i)=P(Y=Y_h|X=X_j)\) per a tots \(i,j,h\).
Exemple 7.5 Tornem a la situació de l’Exemple 7.4. Volem comparar 3 tractaments, A, B i C, per baixar el nivell de colesterol, per veure si tenen taxes d’èxit diferents. Però ara, en lloc de considerar l’èxit com una variable dicotòmica (baixes dels 240 mg/dl o no) distingirem si al cap de 5 setmanes de tractament s’ha baixat dels 200 mg/dl (el nivell desitjable de colesterol), s’ha assolit un nivell entre 200 i 240 mg/dl (el nivell límit), o si no s’ha baixat de 240 (nivell alt).
Les dades de l’estudi esmentat a l’Exemple 7.4 amb aquesta nova classificació dels resultats són:
\[ \begin{array}{l} \hphantom{200-240AAaa}\text{Tractament}\\ \begin{array}{r|ccc|c} \text{Nivell} & A & B & C & \text{Total} \\\hline \text{Desitjable} & 12 & 21 & 13 & 46\\ \text{Límit} & 31 & 40 & 40 & 111\\ \text{Alt} & 57 & 39 & 47 & 143 \\\hline \text{Total} & 100 & 100 & 100 & 300\\\hline \end{array} \end{array} \]
Variables aleatòries: Com abans, tenim dues interpretacions correctes:
\(X\): “Prenem un pacient i miram quin tractament segueix”
\(Y\): “Prenem un pacient i miram al cap de 5 setmanes en quina classe està el seu nivell de colesterol”
o
\(Y_A\): “Prenem un pacient sota el tractament A i miram al cap de 5 setmanes en quina classe està el seu nivell de colesterol”
\(Y_B\): “Prenem un pacient sota el tractament B i miram al cap de 5 setmanes en quina classe està el seu nivell de colesterol”
\(Y_C\): “Prenem un pacient sota el tractament C i miram al cap de 5 setmanes en quina classe està el seu nivell de colesterol”
: \[ \left\{\begin{array}{l} H_0: P(Y=L|X=T)=P(Y=L|X=T')\\ \hphantom{H_0: }\quad\text{ per a cada nivell $L$ de colesterol}\\ \hphantom{H_0: }\quad \text{ i cada parell de tractaments $T,T'$}\\ H_1: \mbox{Alguna d'aquestes igualtats és falsa} \end{array}\right. \]
És un test d’homogeneïtat, farem servir un test \(\chi^2\):
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 12 21 13
## [2,] 31 40 40
## [3,] 57 39 47##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: TaulaC2
## X-squared = 8.046, df = 4, p-value = 0.08991Conclusió: No hem trobat evidència estadísticament significativa que A, B i C no tenguin el mateix efecte quan distingim tres classes de nivell de colesterol (test \(\chi^2\) d’homogeneïtat, p-valor 0.09). La conclusió concreta ja dependria de si prenguéssim nivell de significació 0.05 o 0.1.
7.3 Test \(\chi^2\) de tendència (Opcional)
Un contrast de tendència és una generalització del contrast d’homogeneïtat de proporcions. En el contrast de tendència, tenim una variable aleatòria ordinal \(X\) de nivells ordenats \(X_1<\cdots< X_k\), i una variable aleatòria Bernoulli \(Y\) de nivells “Èxit” i “Fracàs”. Diguem \(p_i=P(Y=\text{Èxit}|X=X_i)\), per a tot \(i\). El contrast que volem realitzar és \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_0: \text{ $p_1=\cdots=p_k$}\\ H_1: \text{ $p_1\leqslant\cdots \leqslant p_k$ i almenys una }\\ \hphantom{H_1: } \text{ d'aquestes desigualtats és estricta} \end{array} \right. \]
Es duu a terme amb un test \(\chi^2\) de Cochran-Armitage, una variant del test \(\chi^2\) explicat fins ara. Per utilitzar-lo, basta que la mostra total sigui gran (\(\geqslant 30\)), no cal la condició de Cochran. (Si teniu curiositat sobre com es fa, podeu consultar la seva entrada de la Wikipedia)
Amb R s’efectua amb la funció prop.trend.test, aplicada al vector de freqüències d’èxits i el vector de freqüències de cada nivell de \(X\).
Exemple 7.6 Continuem amb l’Exemple 7.1. Recordem que hi volíem determinar si hi ha associació entre l’hàbit de fumar i patir tos nocturna entre els nins. Les dades recollides varen ser:
\[ \begin{array}{l} \hphantom{No fumador ocasional un }\text{Fumador}\\ \begin{array}{l|ccc|c} & \text{No fumador} & \text{Ocasional} & \text{Regular} & \text{Total} \\\hline \text{Tos} & 266 & 395 & 80 & 741\\ \text{No tos}& 1037 & 977 & 92 & 2106\\\hline \text{Total} &1303 & 1372 & 172 & 2847\\ \end{array} \end{array} \]
Com que l’estatus de fumador és una variable ordinal i, naturalment, en darrera instància cercam proves que el fumar “causa” la tos nocturna, ens pot interessar contrastar si la probabilitat de tos nocturna creix amb la freqüència de fumar.
Variables d’interès:
\(X\): “Prenem un nin i avaluam el seu estatus de fumador”; la considerarem una variable ordinal amb nivells “No fumador” < “Ocasional” < “Regular”
\(Y\): “Prenem un nin i miram si té tos nocturna o no”
Contrast: Si diem \(p_N\), \(p_O\) i \(p_R\) a la probabilitat que tengui tos nocturna un nin no fumador, un nin fumador ocasional i un nin fumador regular, respectivament, \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_0: \text{ $p_N=p_O=p_R$}\\ H_1: \text{ $p_N\leqslant p_O \leqslant p_R$ i $p_N<p_R$} \end{array} \right. \]
Fixau-vos que, a la hipòtesi alternativa, dir
“\(p_N\leqslant p_O \leqslant p_R\) i almenys una d’aquestes desigualtats és estricta”
és equivalent a dir
“\(p_N\leqslant p_O \leqslant p_R\) i \(p_N<p_R\)”
només que aquesta darrera reformulació és més curta.
Emprarem un test \(\chi^2\) de tendència:
##
## Chi-squared Test for Trend in Proportions
##
## data: Tos out of Fum ,
## using scores: 1 2 3
## X-squared = 59.47, df = 1, p-value = 1.242e-14Conclusió: Hem trobat evidència estadísticament significativa que la probabilitat de patir tos nocturna creix amb la freqüència de fumar (test \(\chi^2\) de Cochran-Armitage, p-valor 10-14)