Lección 1 Distribuciones de probabilidad

R conoce los tipos de distribución de probabilidad más importantes, incluyendo las que mostramos en la tabla siguiente:

\[ \begin{array}{lll} \hline \textbf{Distribución} & {\textbf{Nombre en R}} & {\textbf{Parámetros}}\\ \hline \mbox{Binomial} &{\texttt{binom}} & \mbox{tamaño de la muestra $n$, probabilidad $p$}\\ \mbox{Geométrica} & {\texttt{geom}} & \mbox{$p$}\\ \mbox{Hipergeométrica} & {\texttt{hyper}} & \mbox{tamaño de la población $N$, número poblacional}\\[-0.75ex] & & \mbox{de éxitos $M$, tamaño de la muestra $n$}\\ \mbox{Poisson} & {\texttt{pois}} & \mbox{esperanza $\lambda$}\\ \mbox{Uniforme} & {\texttt{unif}} & \mbox{mínimo, máximo}\\ \mbox{Exponencial} & {\texttt{exp}} & \lambda\\ \mbox{Normal} & {\texttt{norm}} & \mbox{media $\mu$, desviación típica $\sigma$}\\ \mbox{Khi cuadrado} & {\texttt{chisq}} & \mbox{número de grados de libertad $df$}\\ \mbox{t de Student} & {\texttt{t}} & \mbox{número de grados de libertad $df$}\\ \mbox{F de Fisher} & {\texttt{f}} & \mbox{los dos números de grados de libertad} \\ \hline \end{array} \]

Para cada una de estas distribuciones, R sabe calcular cuatro funciones, que se obtienen añadiendo un prefijo al nombre de la distribución:

  • La función de densidad, con el prefijo d.

  • La función de distribución de probabilidad, con el prefijo p; esta función dispone además del parámetro lower.tail que igualado a FALSE calcula la función de distribución de cola superior: la probabilidad de que una variable aleatoria con esta distribución de probabilidad tome un valor estrictamente mayor que uno dado.

  • Los cuantiles, con el prefijo q.

  • Vectores de números aleatorios con esta distribución, con el prefijo r.

La función correspondiente se aplica entonces al valor sobre el que queremos calcular la función y a los parámetros de la distribución (en este orden, y los parámetros en el orden en que los damos en la tabla anterior, cuando hay más de uno).

Por ejemplo, sea \(X\) una variable aleatoria binomial \(B(20,0.3)\), es decir, de tamaño \(n=20\) y probabilidad \(p=0.3\), y sean \(f_X\) su función de densidad y \(F_X\) su función de distribución. Calculemos algunos valores de funciones asociadas a esta variable aleatoria.

  • \(f_X(5)=P(X=5)\):
dbinom(5,20,0.3)
## [1] 0.1788631
       Comprobémoslo, recordando que si \(X\sim B(n,k)\), entonces \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\):
choose(20,5)*0.3^5*0.7^15
## [1] 0.1788631
  • \(f_X(8)=P(X=8)\):
dbinom(8,20,0.3)  
## [1] 0.1143967
  • \(F_X(5)=P(X\leq 5)\):
pbinom(5,20,0.3)  
## [1] 0.4163708
       Comprobémoslo, usando que \(P(X\leq 5)=\sum_{k=0}^5 P(X=k)\):
sum(dbinom(0:5,20,0.3))
## [1] 0.4163708
  • \(F_X(8)=P(X\leq 8)\):
pbinom(8,20,0.3)  
## [1] 0.8866685
  • \(P(X>8)\)
pbinom(8,20,0.3,lower.tail=FALSE)
## [1] 0.1133315
       En efecto:
1-pbinom(8,20,0.3)
## [1] 0.1133315
  • El cuantil de orden \(0.5\) de \(X\), o sea, su mediana: el valor \(x\) más pequeño tal que \(P(X\leq x)\geq 0.5\)
qbinom(0.5,20,0.3)  
## [1] 6
       Comprobemos que \(P(X\leq 6)\geq 0.5\) y en cambio \(P(X\leq 5)< 0.5\):
pbinom(6,20,0.3) 
## [1] 0.6080098
pbinom(5,20,0.3) 
## [1] 0.4163708
  • El cuantil de orden \(0.25\) de \(X\), es decir, su primer cuartil:
qbinom(0.25,20,0.3)  
## [1] 5
  • Un vector aleatorio de 10 valores generado con la variable aleatoria \(X\):
rbinom(10,20,0.3)
##  [1]  6  8  7  5 10  7  3  4  3  9
  • Dos vectores aleatorios más, de 10 valores cada uno, generados con la variable aleatoria \(X\):
rbinom(10,20,0.3) 
##  [1] 8 2 6 7 7 4 8 3 4 4
rbinom(10,20,0.3)
##  [1] 7 6 9 8 5 4 5 4 9 4

Del mismo modo, si estamos trabajando con una variable aleatoria \(Y\) de Poisson con parámetro \(\lambda=5\):

  • \(P(Y=8)\):
dpois(8,5) 
## [1] 0.06527804
  • \(P(Y\leq 8)\):
ppois(8,5) 
## [1] 0.9319064
  • El cuantil de orden 0.6 de \(Y\):
qpois(0.6,5)
## [1] 5
  • Un vector aleatorio de 20 valores generado con la variable aleatoria \(Y\):
rpois(20,5)
##  [1]  2  3 10  6  5 10  6  6  5  8  4  3  3  5  2  4  4  2  1  4

Si no entramos ningún parámetro en las funciones asociadas a la distribución normal, R entiende que se trata de la normal estándar (con media \(\mu=0\) y desviación típica \(\sigma=1\)): por ejemplo, las dos instrucciones siguientes nos dan el valor \(f_Z(0.3)\) de la función densidad de una normal estándar \(Z\) aplicada a 0.3 (que no es igual a \(P(Z=0.3)\)):

dnorm(0.3)
## [1] 0.3813878
dnorm(0.3,0,1)
## [1] 0.3813878

Las funciones densidad y distribución de una variable aleatoria se pueden dibujar con la función curve. Así, la función siguiente dibuja la gráfica de la densidad de una variable normal de la Figura 1.1:

curve(dnorm(x,0,1.5),-5,5,xlab="",ylab="",main="")
Función densidad de una variable *N*(0,1.5).

Figura 1.1: Función densidad de una variable N(0,1.5).

De manera similar, la función siguiente dibuja la gráfica de la función de distribución de una variable normal de la Figura 1.2:

curve(pnorm(x,0,1.5),-5,5,xlab="",ylab="",main="")
Función distribución de una variable *N*(0,1.5).

Figura 1.2: Función distribución de una variable N(0,1.5).

1.1 Ejercicios

Test

(1) Sea \(f\) la función de densidad de una variable aleatoria normal con \(\mu=0.2\) y \(\sigma=1.2\). Dad el valor de \(f(0.5)\) redondeado a 4 cifras decimales.

(2) Sea \(X\) una variable aleatoria normal con \(\mu=0.2\) y \(\sigma=1.2\). Dad el valor de \(P(3\leq X\leq 7)\) redondeado a 4 cifras decimales.

(3) Sea \(X\) una variable aleatoria \(B(10,0.2)\). Dad el valor de \(P(3\leq X\leq 7)\) redondeado a 4 cifras decimales.

(4) Dad una instrucción que calcule la mediana de una lista de 20 números aleatorios generados con distribución \(B(10,0.2)\). No deis el resultado, solo la instrucción.

Problemas

(1) Según la página web de Tall.Life, la altura de los hombres españoles adultos sigue una distribución aproximadamente normal de media 173.1 cm y desviación típica 7.42 cm, mientras que la de las mujeres españolas adultas sigue una distribución también aproximadamente normal, pero de media 160.3 cm y desviación típica 7.11 cm. Por otro lado, según el último FactBook sobre España de la CIA, aproximadamente un 51% de los españoles adultos son mujeres. Vamos a tomar todos estos datos como exactos y verdaderos.

(a) ¿Qué es más probable, que un hombre adulto español sea más alto que Víctor Claver (2.05 m) o que una mujer adulta española sea más alta que Alba Torrens (1.90 m)?

(b) Si tomamos un español adulto (hombre o mujer) al azar, ¿qué es más probable, que sea más alto que Marc Gasol (2.11 m) o que sea más bajo que Peter Dinklage (1.35m)?

(2) He lanzado un dado de 6 caras 100 veces, y he obtenido 24 veces un 6. Suponed que el dado es honrado. Considerad la variable aleatoria \(X\) dada por el número de veces que obtenemos un 6 al lanzar el dado 100 veces al aire.

(a) ¿Qué distribución de probabilidad tiene \(X\)? Tenéis que dar el tipo de distribución y sus parámetros.

(b) ¿Qué vale \(P(X=24)\)? Es decir, ¿cuál es la probabilidad de sacar exactamente 24 seises en 100 lanzamientos del dado?

(c) ¿Cuál es la probabilidad de sacar 24 seises o más en 100 lanzamientos del dado?

(d) Simulad con R una secuencia aleatoria de 1000 realizaciones de \(X\): es decir, generad un vector de 1000 números aleatorios con la distribución de probabilidades de \(X\). Vamos a suponer que este vector nos da los números de seises obtenidos en 1000 secuencias de 100 lanzamientos del dado cada una. ¿En qué porcentaje de estas secuencias habéis obtenido exactamente 24 seises? ¿En qué porcentaje habéis obtenido al menos 24 seises? ¿Son consistentes estos resultados con los valores obtenidos en (b) y (c)?

Respuestas al test

(1) 0.3222

Nosotros lo hemos calculado con

round(dnorm(0.5,0.2,1.2),4)
## [1] 0.3222

(2) 0.0098

Nosotros lo hemos calculado con

round(pnorm(7,0.2,1.2)-pnorm(3,0.2,1.2),4)
## [1] 0.0098

(3) 0.3221

Nosotros lo hemos calculado con

round(pbinom(7,10,0.2)-pbinom(2,10,0.2),4)
## [1] 0.3221

También se obtiene el resultado correcto con

round(sum(dbinom(3:7,10,0.2)),4)
## [1] 0.3221

En cambio, con

round(pbinom(7,10,0.2)-pbinom(3,10,0.2),4)
## [1] 0.1208

no se obtiene el resultado correcto. Pensad por qué aquí hay que restar pbinom(2,10,0.2) y en la pregunta anterior restábamos pnorm(3,0.2,1.2).

(4) median(rbinom(20,10,0.2))

También sería correcto median(rbinom(20,size=10,prob=0.2)), pero no es necesario dar los nombres de los parámetros si entráis sus valores en el orden correcto, y por eso no los hemos explicado.

Soluciones sucintas de los problemas

(1) (a) La probabilidad que un hombre adulto español sea más alto que Víctor Claver es

pnorm(205,173.1,7.42,lower.tail=FALSE)
## [1] 0.00000857112

y la probabilidad de que una mujer adulta española sea más alta que Alba Torrens es

pnorm(190,160.3,7.11,lower.tail=FALSE)
## [1] 0.00001475499

(b) La probabilidad de que un español adulto sea más alto (o alta) que Marc Gasol es

0.49*pnorm(211,173.1,7.42,lower.tail=FALSE)+0.51*pnorm(211,160.3,7.11,lower.tail=FALSE)
## [1] 0.00000007984638

y la probabilidad de que un español adulto sea más bajo (o baja) que Peter Dinklage es

0.49*pnorm(135,173.1,7.42)+0.51*pnorm(135,160.3,7.11)
## [1] 0.00009522642

(2) (a) Binomial \(B(100,1/6)\)

(b) dbinom(24,100,1/6)=0.016161

(c) 1-pbinom(23,100,1/6)=0.0378644

(d) El vector siguiente contiene una simulación como la pedida

Simulación=rbinom(1000,100,1/6)

En este vector, el porcentaje de entradas iguales a 24 es

round(100*length(Simulación[Simulación==24])/1000,1)
## [1] 1.9

y el porcentaje de entradas mayores o iguales a 24 es

round(100*length(Simulación[Simulación>=24])/1000,1)
## [1] 3.8

Naturalmente, en cada simulación puede dar valores diferentes. Por ejemplo, si repetimos de nuevo la simulación

Simulación2=rbinom(1000,100,1/6)

obtenemos:

round(100*length(Simulación2[Simulación2==24])/1000,1)
## [1] 2
round(100*length(Simulación2[Simulación2>=24])/1000,1)
## [1] 3.3